逆向选择

模型设定

假设委托人是风险中性的，代理人是风险中性或风险规避的。

委托人的效用函数为

U_{P} = Π (e) - w = \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) x_{i} - w with Π (e)^{'} > 0, Π^{″} (e) < 0

$Π (e)$ 表示委托人获得的期望收益
$w$ 表示委托人支付给代理人的报酬
这里和道德风险相比进行了简化，明确假设目标函数关于 $e$ 是凹的。

代理人有好（Good）和坏（Bad）两种类型，效用函数分别为

\begin{aligned} U_{A}^{G} (w, e) & = u (w) - c (e) \\ U_{A}^{B} (w, e) & = u (w) - k c (e) \end{aligned} with u^{'} > 0, u^{″} \leq 0, c^{'} > 0, c^{″} \geq 0

$e$ 表示代理人的努力程度
$u (\cdot)$ 为收益子函数
$c (\cdot)$ 为成本子函数
$k > 1$ 为常数，表明 G 型比 B 型成本低或者说效率高

基准模型

如果信息对称，委托人可以分别单独与两种类型的代理人签约。

G 型代理人最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{e, w} & Π (e) - w \\ s.t. & u (w) - c (e) \geq \bar{u} \end{aligned}

Lagrangian 函数为

L = Π (e) - w + λ [u (w) - c (e) - \bar{u}]

F.O.C.

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial e} & = Π^{'} (e) + λ c^{'} (e) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial w} & = - 1 - λ u^{'} (w) = 0 \end{aligned}

最优合约取决于

\begin{aligned} Π^{'} (e^{G}) & = \frac{c^{'} (e^{G})}{u^{'} (w^{G})} \\ u (w^{G}) - c (e^{G}) & = \bar{u} \end{aligned}

B 型代理人最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{e, w} & Π (e) - w \\ s.t. & u (w) - k c (e) \geq \bar{u} \end{aligned}

（推导略）
最优合约取决于

\begin{aligned} Π^{'} (e^{B}) & = \frac{k c^{'} (e^{B})}{u^{'} (w^{B})} \\ u (w^{B}) - c (e^{B}) & = \bar{u} \end{aligned}

两类代理人的保留效用相同，但 G 型代理人的成本更低，因此委托人将要求 G 型代理人付出更多努力，即 $e^{G} > e^{B}$ 。然而， G 型代理人的报酬不一定更高，一方面 G 型代理人的高努力会获得高报酬，另一方面要满足 B 型代理人的参与约束也需要更高的报酬，不能确定两种效应哪种占优。

一般模型

如果信息不对称，G 型代理人有动机伪装成 B 型代理人，伪装的效用为

U_{A}^{G} = u (w^{B}) - c (e^{B}) > u (w^{B}) - k c (e^{B}) = \bar{u}

其中，不等式右边源于 B 型代理人成本更高，因此参与约束为紧。

此时 G 型代理人通过伪装可以获得信息租金。因此，委托人的目标是提供两种合约实现逆向选择，即虽然不知道自己面临的是哪种类型的代理人，但最终可以通过代理人自己选择的合约确定其类型。换句话说，看起来好像是代理人在选择合约，实际上是委托人在筛选代理人，这也就是「逆向选择」一词的由来。

假设委托人面临 G 型代理人的概率是 $q$ ，最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{{(e^{G}, w^{G}), (e^{B}, w^{B})}} & q [Π (e^{G}) - w^{G}] + (1 - q) [Π (e^{B}) - w^{B}] \\ s.t. & u (w^{G}) - c (e^{G}) \geq \bar{u} & (IR1) \\ u (w^{B}) - k c (e^{B}) \geq \bar{u} & (IR2) \\ u (w^{G}) - c (e^{G}) \geq u (w^{B}) - c (e^{B}) & (IC1) \\ u (w^{B}) - k c (e^{B}) \geq u (w^{G}) - k c (e^{G}) & (IC2) \end{aligned}

前两个约束保证两种代理人都会接受合约（参与约束）；后两个约束保证两种代理人都不会伪装自己的类型（激励相容约束）。

Note

注意，IC1 和 IC2 相加可以得到

c (e^{G}) \geq c (e^{B}) ⟹ e^{G} > e^{B}

将其再代入 IC1 可得

u (w^{G}) - u (w^{B}) \geq 0 ⟹ w^{G} \geq w^{B}

这称为单调性条件，即「能者多劳，多劳多得」的合约才可能是最优合约。

首先，IR2 和 IC1 蕴含了 IR1

u (w^{G}) - c (e^{G}) \geq u (w^{B}) - c (e^{B}) \geq u (w^{B}) - k c (e^{B}) \geq \bar{u}

这表明高效率代理人（G 型）的参与约束是可忽略的。

其次，IC1 和 IC2 相加可以得到

\begin{matrix} (M) & c (e^{G}) \geq c (e^{B}) \end{matrix}

这个条件被称为单调性条件且比较简洁，因此我们考虑将 ${IC1, IC2}$ 替换为 ${IC1, M}$ 或者 ${IC2, M}$ 。根据前面的讨论，G 型代理人更有动机伪装自己的类型，因此我们优先保证 $IC1$ 满足，即替换低效率代理人的激励相容约束。

观察 IR2 和 IC1：目标函数关于 $w^{B}$ 是递减的，而 IR2 的左侧关于 $w^{B}$ 是递增的，因此 IR2 取等号；目标函数关于 $w^{G}$ 是递减的，而 IC1的左侧关于 $w^{G}$ 是递增的，且 $w^{G}$ 的变动不影响 IR2，因此 IC1 也是取等号的。另外，我们暂时忽略单调性条件，最后验证。

Lagrangian 函数为

\begin{aligned} L = & q [Π (e^{G}) - w^{G}] + (1 - q) [Π (e^{B}) - w^{B}] + λ [u (w^{B}) - k c (e^{B}) - \bar{u}] \\ + μ [u (w^{G}) - c (e^{G}) - u (w^{B}) + c (e^{B})] \end{aligned}

F.O.C.

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial w^{G}} & = - q + μ u^{'} (w^{G}) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial w^{B}} & = (q - 1) + λ u^{'} (w^{B}) - μ u^{'} (w^{B}) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial e^{G}} & = q Π^{'} (e^{G}) - μ c^{'} (e^{G}) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial e^{L}} & = (1 - q) Π^{'} (e^{B}) - λ k c^{'} (e^{B}) + μ c^{'} (e^{B}) = 0 \end{aligned}

整理得

\begin{aligned} (1) & μ & = \frac{q}{u^{'} (w^{G})} = \frac{q Π^{'} (e^{G})}{c^{'} (e^{G})} \\ (2) & λ & = μ + \frac{1 - q}{u^{'} (w^{B})} = \frac{μ}{k} + \frac{(1 - q) Π^{'} (e^{B})}{k c^{'} (e^{B})} \end{aligned}

(1)可以得到 $(e^{G}, w^{G})$ 的关系式

Π^{'} (e^{G}) = \frac{c^{'} (e^{G})}{u^{'} (w^{G})}

这和基准模型条件是一样的。

(1)(2)可以得到

Π^{'} (e^{B}) = \frac{k c^{'} (e^{B})}{u^{'} (w^{B})} + \frac{q (k - 1)}{1 - q} \frac{c^{'} (e^{B})}{u^{'} (w^{G})}

这比基准模型多了一项，体现了逆向选择的影响。

上述结果代入两个等式约束就可以得到最优合约，最后再检查单调性条件是否满足。

因此，高效率（G 型）代理人的最优条件不会扭曲，我们称之为「高端不扭曲」性质。